هندسه ریمانی اربیفلدها

صرف نظر از جزئیات، منیفلدها به طور موضعی شبیه به یک فضای اقلیدسی هستند. در حالی که اربیفلدها با مدل شدن روی فضای مدارهای عمل یک گروه متناهی از دیفئومورفیسم های یک منیفلد همبند، منیفلدها را تعمیم می دهند. مفهوم اربیفلد، نخستین بار در دهه پنجاه میلادی توسط ساتاکه با نام v-منیفلدها معرفی شد. اما در حدود سال 1970 ترستن با این مفهوم را به عنوان ابزاری برای مطالعه توپولوژی منیفلدهای سه بعدی، به طور مستقل ابداع و اصطلاح اربیفلد را برای آن برگزید. نتایج اولیه در این نظریه، برانگیخته از تعمیم مفاهیم و قضایا از منیفلدها به اربیفلدها، بیان شباهت ها و تفاوت های آنها و یافتن پایاها است. مشکلی که وجود دارد، آن است که بعضی از مفاهیم در رسته منیفلدها، تعمیم منحصربفرد و صحیحی به رسته اربیفلدها ندارند. با این وجود، بسیاری از نتایج پس از پیکربندی دوباره، قابل گسترش هستند.اربیفلدها در تقاطع زمینه های مختلف ریاضیات و حتی علوم دیگر نظیر فیزیک قرار دارند. از این رو به فراخور کاربرد، روش های گوناگونی برای ارائه اربیفلدها وجود دارد. اربیفلدها می توانند متناظر با کلاس های خاصی از گروه واره های لی در نظر گرفته شوند. شیوه دیگر، بیان اربیفلدها به صورت استک ها است. اما روشی که در این پایان نامه اتخاذ می شود، به مانند منیفلدها، استفاده از کارت ها و اطلس ها است. به نظر می رسد، این روشبرای بیان دیدگاه های هندسه ریمانی منیفلدها در اربیفلدها مناسب تر است. در فصل اول، برخی تعاریف و مفاهیم مورد نیاز درباره اربیفلدهای ریمانی مانند فضاهای طولی،منیفلدهای ریمانی، انحنای توپونوگوف 5 و در نهایت عمل گروه های متناهی از دیفئومورفیسم های یک منیفلد همبند مورد بررسی قرار می گیرد. فصل دوم، به مطالعه اربیفلدها اختصاصدارد. اربیفلدها شاید به اندازه منیفلدها همگن نباشند. اما یکی از ویژگی های خاص آنها داشتن نقاط تکین است؛ یک مجموعه بسته و هیچ جا چگال که وجود آن یک اربیفلد را از منیفلدها متمایز می کند. در واقع منیفلدها، اربیفلدهای بدون نقاط تکین هستند. حتی ممکن است فضای توپولوژیک زمینه یک اربیفلد، منیفلد نباشد. مانند هر کاتگوری دیگر، ریخت ها تحت عنوان نگاشت اربیفلد معرفی می گردند. با بحث درباره تارهای مماس اربیفلدها که برخلاف منیفلدها دیگر فضای برداری نیستند، فصل خاتمه می یابد. سرانجام در فصل سوم، ساختار اربیفلد ریمانی ارائه شده و به پیاده سازی ایده های هندسه ریمانی بر روی آن پرداخته می شود. پس از تعریف ژئودزیک ها و نگاشت نمایی اربیفلدها، ساختار طولی اربیفلدها مورد بحث قرار می گیرد. نشان داده می شود، یک قطعه ژئودزیک با نقاط انتهایی منظم (ناتکین) هیچ گاه از نقاط تکین عبور نمی کند. همچنین، قضیه مقایسه نسبت حجمی بیشاپ برای اربیفلدهای با انحنای ریچی از پایین کران دار، قابل توسیع است. تعمیمی از قضیه قطر بیشینه چنگ برای اربیفلدها ثابت می شود. به خصوص، یک رده بندی از اربیفلدهای ریمانی خوب و کامل با قطر بیشینه و انحنای ریچی از پایین کران دار ارائه می شود. در آخرین مبحث، نسخه ای از قضیه شکافتگی برای اربیفلدها مطرح و اثبات می گردد.